理解矩阵的秩

矩阵可以看做是由向量组成。要理解秩，需要先理解什么是向量的线性相关:所谓相关，就是指这些向量是成比例的。比如:α1:(1，2，3)  α2:(2，4，6) α3:(3，6，9)，他们可以组成一个3✘3的矩阵。我们可以发现，其实三个向量的值是成比例的。如果我们考虑这么一组方程:x+2y+3z=02x+4y+6z=03x+6y+9z =0看到这里，很多人会发现，其实后面两个方程是多余的，因为两边把系数一除就跟第一个一样了。真正有用的就一个，另外两个是废话。没错，矩阵的秩，其实就是把废话去掉以后，留下来的向量个数。

作者：Jacky Yang
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线性相关／无关是个很直观的概念。三点共线就是线性相关，三线共点也是线性相关。线性相关就是向量之间存在某种相互限制关系，使得他们张成的空间不能达到最大维数。线性无关就是一种“自由状态”，所有的向量都处于“一般位置”，有多少个向量，就张成多少维的空间。线性代数里面，对线性变换f:V \to W而言，像空间的维数（秩）＝V的维数－零度（核空间的维数），就是说，理想的自由状态下的维数(V的维数，在解线性方程的时候就是变量的个数)，减去约束条件的个数（也就是秩，在解线性方程的时候就是线性无关的方程组的数量），就等于核空间的维数（也就是加上约束条件后的向量组的维数）。有一个以上约束条件，你写出来的V里面那组向量就是线性相关的；没有任何约束条件，就是线性无关的。很朴素的道理。

作者：Yuhang Liu
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如果这样还不够直白，这里有个通俗的说明。

我建议题主看一下北京大学丘维声教授讲授的《高等代数》视频，里面对很多概念说的很通俗易懂。其中一个很有意思，比如你在一个公司里任职，如果你的工作能被其他人所替代，那么替代你的人和你的关系就是线性相关的，反过来，如果你的工作无人可以替代，那你们这一些不可替代的人就是线性无关的。那么秩的概念也就是你们这一组无可替代的人的人数。我们在工作岗位都是喜欢寻找那些不可替代的精英，在数学上也是一样的。而精英可以不断变动，但是完成一件工作需要的精英人数是固定的，这也就是秩的意义。

作者：KIRA
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